L'abaque de Smith est un auxiliaire idéal pour comprendre le fonctionnement des lignes et en particulier pour trouver l'impédance d'une antenne (ou d'une charge quelconque) à partir de l'impédance mesurée au bas de la ligne.
Problèmes
1) Un générateur
G est relié à une charge d'impédance Z au
travers d'une ligne de longueur lg et d'impédance caractéristique
Zc. Quelle est l'impédance vue par le générateur ?
2) On mesure l'impédance au bas d'une ligne reliée à une antenne.
Quelle est l'impédance au point d'alimentation de l'antenne ?
Influence d'un tronçon de ligne
La mesure de l'impédance
directement au point d'alimentation d'une antenne a donné
ZA=55+j36
à la fréquence de 10 MHz.En ajoutant simplement un cordon en câble coaxial (genre RG58) de 73 cm de longueur (physique) l'impédance mesurée devient ZB=78+j32
On pourrait croire que la longueur du câble (0,73 m) est négligeable vis à vis de la longueur d'onde de travail (30 mètres à la fréquence de 10 MHz). Il n'en est rien et l'utilisation de l'abaque de Smith permet de le constater facilement.
Le point correspondant à ZA est représenté par le point A de coordonnées normalisées 1,11+j0,72.
Le point B de coordonnées 1,56+j0,64 représente l'impédance normalisée mesurée avec le cordon de 73 cm. On voit qu'il est situé sur le cercle de ROS=2, décalé d'un angle que l'on peut mesurer en fraction de lambda sur l'échelle extérieure.
Dans notre cas le décalage angulaire est de 0,200 - 0,163 = 0,037 lambda
On peut calculer la longueur électrique de 0,73 m de RG58 (Vf=0,66 voir Longueur électrique d'une ligne) en divisant 0,73/Vf = 1,11 m et convertir celle-ci en fraction de lambda en divisant 1,11 par 30 (longueur d'onde correspondant à 10 MHz). Le résultat est bien 1,11/30 = 0,037.
Utilisation des échelles des longueurs d'onde
Deux échelles circulaires
sont placées à la périphérie de l'abaque.
Elles sont graduées en longueurs d'ondes à partir
de l'origine de l'axe des résistances (point D).L'échelle placée à l'extérieur (en rouge sur la figure) est utilisée, dans le sens des aiguilles d'une montre, lorsqu'on part de l'impédance de la charge en ajoutant une ligne entre la charge et la source. C'est le cas de l'exemple précédent avec le tronçon de ligne de 0,037 lambda. L'échelle intérieure (en bleu) est utilisée dans le cas contraire quand, par exemple, on a mesuré l'impédance d'une antenne au bas de la ligne et qu'on veut retrouver l'impédance au point d'alimentation de l'antenne. Elle tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Un tour complet de l'échelle correspond à une demi-longueur d'onde, une longueur de ligne remarquable car elle donne la possibilité de mesurer, avec un impédancemètre, l'impédance exacte de la charge qui se trouve à son extrémité.
Si la longueur de la ligne est supérieure à 0,5 lambda, il suffit de diviser la longueur par 0,5 et d'utiliser le reste de la division.
Note : l'angle de rotation d'un point dépend de la fréquence à laquelle la mesure est effectuée. C'est une évidence qu'il est utile de garder à l'esprit quand on étudie la bande passante d'une antenne.
Transformation de la courbe de réponse d'un circuit résonnant
La courbe en bleu
sur le graphe ci-contre représente la variation d'impédance
d'un circuit série RLC en fonction de la fréquence
entre 17,3 et 30 MHz. La fréquence de résonance
du circuit, c'est à dire le point situé sur l'axe
des résistances, est de 22 MHz environ. La mesure
a été effectuée en branchant le circuit au
plus près de la sortie de l'impédancemètre.
On remarque que le ROS est pratiquement inférieur à
2 (cercle vert) de 17 à 29 MHz.La courbe en rouge montre la réponse en fréquence du même circuit vue à l'extrémité d'une ligne de 1,11 mètres de longueur physique c'est à dire de longueur électrique :
- 0,097 lambda à 17,3 MHz
- 0,168 lambda à 30 MHz
On peut voir (ou plutôt deviner, compte tenu de la médiocre qualité de la figure) que le point correspondant à la fréquence 17,3 MHz s'est déplacé sur le périmètre d'un cercle de ROS d'un angle, limité par les deux traits bleus, de 0,478-0,380=0,098 lambda (pour 0,097 théorique). L'angle de rotation du point correspondant à 30 MHz, marqué par les deux traits rouges, est de 0,172 lambda (pour 0,168).
Cette différence de "vitesse" angulaire entre limite basse et limite haute de la bande de fréquences explique la déformation de la courbe rouge.
Remarque : cette expérience confirme que les mesures effectuées à l'extrémité d'une ligne sont un reflet très déformé des valeurs qui seraient mesurées au niveau de la charge. Ce serait gênant s'il n'existait pas l'abaque de Smith.
Exemple pratique
La figure ci-contre montre la courbe
du ROS d'un dipôle demi-onde taillé (mal) pour la
bande des 40 mètres. Le cercle vert représente le
cercle des ROS constants et égaux à 2. Un simple
coup d'oeil permet d'évaluer la bande passante de l'antenne
basée sur un ROS maximum de 2 : 6,7 à 7,15 MHz
environ.Angle du coefficient de réflexion
Lorsqu'une ligne est le siège
d'ondes stationnaires, le déphasage entre l'onde directe
(UD) est l'onde réfléchie (UR)
varie tout au long de la ligne. Cet angle de déphasage
est celui du coefficient de réflexion G, vecteur
dont le module r permet de calculer le ROS. On peut connaître
très facilement l'angle q
du coefficient de réflexion
en un point de la ligne en traçant un rayon coupant les
échelles circulaires placées à la périphérie
de l'abaque.Sur la ligne dont le cercle de ROS est représenté en rouge, le point D est situé en un endroit correspondant à 0,161 l. En ce point de la ligne, l'angle du coefficient de réflexion est de +64 degrés, positif puisque la réactance au point D est inductive ( UD est déphasé en arrière par rapport à UR).
Remarque : attention à ne pas confondre les deux échelles (quand elles sont présentes) : angle du coefficient de réflexion et angle du coefficient de transmission.