Dans la page L'abaque de Smith, mesure sur les lignes, on considère que la ligne considérée est sans perte. Cette approximation est généralement acceptable, surtout si les pertes sont faibles, quand par exemple la ligne est :
- de très bonne qualité (ligne bifilaire, coax à faibles pertes...)
- de courte longueur
- utilisée dans une gamme de fréquence relativement basse
Si on utilise 20 mètres de RG174 sur 144MHz, les pertes avoisineront 9 dB et les mesures d'impédance ou de ROS effectuées au bas de la ligne n'auront pas de sens si on ne tient pas compte des pertes.
Rappel
Sur une ligne idéale, sans
pertes, ou du moins pour laquelle les pertes sont négligeables,
l'onde directe et l'onde réfléchie, ont des amplitudes
constantes. Le ROS
est donc constant d'une bout à l'autre de la ligne et se
traduit par un cercle sur l'abaque de Smith (courbe en bleu sur la figure ci-contre).Si la ligne présente des pertes non négligeables, l'onde directe est progressivement atténuée en se dirigeant vers la charge tandis que l'onde réfléchie subit une atténuation semblable en retournant vers le générateur. Par conséquent le ROS est plus élevé du côté de la charge que du côté du générateur. La représentation du ROS sous forme de cercle n'est plus valable et c'est sous la forme d'une spirale que le ROS est représenté sur l'abaque (en rouge sur la figure ci-contre). On imagine que, plus la ligne est longue, plus la spirale va se reserrer autour du point central où on a ROS=1.
Sur l'exemple de la figure, on voit la réduction du ROS entre Za (impédance de la charge) et Ze (impédance à l'extrémité de la ligne, côté générateur). Cette ligne, représentée par l'arc rouge, a une longueur d'environ lambda/4.
Exemple : retrouver l'impédance de la charge
Une antenne est alimentée par une ligne en câble coaxial genre RG58 d'une longueur physique de 26,7 mètres.
Les mesures s'effectuent à la fréquence de 28 MHz.
Les pertes dans la ligne sont de 1,8 dB à cette fréquence.
L'impédance mesurée au bas de la ligne à cette fréquence est Ze=60+j37,5 ohms.
Procédure
Il n'est pas nécessaire
de dessiner une spirale car seuls nous intéressent les
deux points représentant les impédances Za de la charge et Ze
au bas de la ligne. Il suffira donc de tracer les deux cercles
de ROS constants passant par les points Za et Ze.Dans l'ordre les opérations suivantes seront effectuées :
- normalisation de Ze
- positionnement de Ze sur l'abaque
- tracé du cercle de ROS de centre 1 et passant par Ze
- tracé du rayon passant par Ze et coupant le cercle des longueurs d'onde "vers la charge" (point C)
- calcul de la longueur électrique de la ligne et positionnement du point D
- tracé du rayon 1-D (et par Za que l'on positionnera plus tard)
- report sur l'échelle radiale du point 2 correspondant au ROS en Ze
- tracé de B, symétrique de 2 par rapport au centre de l'échelle radiale
- calcul de la valeur de A, en allant "vers la charge" à partir de B tel que longueur de BA = atténuation totale de la ligne (ici 1,8 dB)
- tracé de 3, symétrique de A par rapport au centre de l'échelle radiale, on obtient le ROS en Za.
- tracé du cercle de ROS de centre 1 et coupant le rayon 1-D en Za
Tracé du cercle de ROS passant par Ze
L'impédance au bas de la ligne est Ze=60+j37,5 ohms. Pour la normaliser à l'impédance de la ligne Zc=50 ohms, il suffit de diviser 60 et 37,5 par 50.
On obtient : 1,2+j0,75 que l'on positionne du côté des réactances inductives
On peut tracer le cercle des ROS constants passant par Ze et mesurer le ROS=2 sur l'axe des résistances.
Prise en compte de la longueur de la ligne
Le
rayon passant par le centre 1 et par le point correspondant à
Ze coupe le cercle des longueurs d'onde au point C.Comme on part du point Ze en se dirigeant vers la charge, on choisira l'échelle appelée "longueurs d'ondes vers la charge" et tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Ici la valeur lue est 0,33 lambda.
La ligne a une longueur physique de 26,7 mètres et un coefficient de vélocité de 0,66.
La longueur électrique de la ligne se calcule facilement à l'aide d'une paire de formules et d'une calculette. Pour la fréquence de 28 MHz on trouve une longueur électrique de 40,45 mètres et de 3,77 lambda. Comme le cercle des longueurs d'onde mesure 0,5 lambda, on aura à faire 3,77/0,5=7 tours plus 0,27 tours. Ce sont ces 0,27 tours qui nous intéressent.
Nota : Pour ceux qui ne savent plus faire une division à la main :
- diviser 3.77/0.5 à la calculette qui nous donne un résultat de 7,54. On ne garde que la partie entière 7
- multiplier 7 par 0,5 qui nous donne 3,5
- retrancher 3,5 à 3,77 en tapant 3,77-3,5 sur la calculette qui nous donne le résultat attendu : 0,27
Il
faut maintenant tourner de 0,27 lambda dans le sens de l'échelle
"longueurs d'ondes vers la charge" c'est à dire
en allant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (flèche bleue). Cela se fait en deux étapes
:- de 0,33 à 0,5 (0,17 lambda)
- de 0,00 à 0,1 lambda
On obtient la position du point D correspondant à l'extrémité de la ligne, côté charge.
Tracer le rayon 1-D qui permettra de situer le point Za.
Calcul du ROS en Za
Sur l'échelle radiale on
se sert de l'échelle intitulée "SWR" ou
"ROS" (souvent appelée abusivement TOS) (à
gauche) et de l'échelle "ATTENUATION (dB)" complétée
par l'indication "VERS LA CHARGE" ou "TOWARD LOAD"L'origine de chacune des échelles est l'axe vertical (en noir sur la figure).
- reporter sur l'échelle du ROS celui mesuré précédemment sur l'abaque : ROS=2
- tracer le symétrique du ROS sur l'échelle des atténuations (point B). La valeur obtenue est sans grand intérêt si ce n'est pour y retrancher (ou y ajouter, si on part de la charge vers le générateur) l'atténuation totale introduite par la ligne ici : 4,8 moins 1,8 dB égale 3 dB, valeur correspondant au poit A.
-tracer le symétrique du point A sur l'échelle du ROS qui nous donne la valeur du ROS au niveau de la charge, c'est à dire le point Za. On lit ici ROS=3
Remarque : L'opération décrite ici peut fort bien être pratiquée indépendamment du tracé sur l'abaque circulaire, par exemple pour connaître le ROS au niveau de l'antenne lorsqu'on connaît le ROS au bas de la ligne et l'atténuation apportée par la ligne.
Détermination du point Za et de l'impédance de la charge
Il n'est pas nécessaire de tracer le cercle de ROS complet correspondant au point Za, il suffit de reporter sur le rayon 1-D la longueur du segment qui correspond au ROS=3 de l'échelle radiale en partant du point 1, le centre de l'abaque.
L'utilisation d'un compas facilite le report des longueurs d'une échelle à l'autre et le tracé des points symétriques.
La procédure se termine par la lecture des coordonnées du points Za et le calcul de l'impédance en ohms en "dénormalisant" les coordonnées obtenues : ici 0,5-j06 ce qui donne 25-j30 ohms après multiplication de chaque terme du nombre complexe par l'impédance caractéristique de la ligne.