Avant l'ordinateur le calcul d'impédance sur les circuits HF pouvait être fait très rapidement à l'aide de l'abaque de Smith. La précision de cette méthode graphique est largement suffisante pour la plupart des cas. Voici un exemple de calcul d'impédance qui résume la méthode. L'opération inverse, c'est à dire le choix des éléments d'un circuit pour obtenir une impédance particulière est décrite dans la détermination des éléments d'un filtre en Pi.
Le circuit en Pi
Il doit son nom à sa forme
semblable à celle de la lettre grecque p. La self associée aux deux condensateurs
constituent un filtre passe-bas très courant en HF et en
particulier à la sortie de l'étage de puissance
dans un émetteur. Il permet en outre de ramener à
50 ou 75 ohms l'impédance quelconque d'une antenne filaire.Sur le schéma ci-contre l'impédance de la charge est Z=70-j60. La fréquence est de 10 MHz. A cette fréquence les réactances des composants sont :
- Capa 100pF : 159 ohms (conductance 6,3 millisiemens)
- Self 1,5µH : 94 ohms
- Capa 200pF : 80 ohms (conductance 12,6 millisiemens)
Les nombres en rouge sont les valeurs de réactance ou conductance (pour les condensateurs), "normalisées" par rapport à 50 ohms, que nous utiliserons plus loin.
Les impédances indiquées en bleues correspondent aux différentes étapes du calcul qui va être détaillé.
Méthode
La méthode s'apparente au calcul en courant continu de la résistance équivalente à un réseau série/parallèle
Le calcul de l'impédance Ze se décompose en plusieurs opérations :
- détermination graphique de l'impédance Z1=Z//C2 résultant de la mise en parallèle de C2 avec Z (Z1=33-j54)
- ajout de L en série avec Z//C2, on obtient Z3=33+j38
- détermination graphique de l'impédance Ze=Z3//C2 résultant de la mise en parallèle de C1 avec Z3
Le résultat obtenu est : Ze=85+j15
Dans le cas de ce calcul, on peut choisir n'importe quelle valeur d'impédance normalisée Zo. telle que Yo=1/Zo
En prenant Zo=50 ohms on a Yo=0,02 S.
Première étape : Z//C2
On va utiliser la susceptance de C2 qui est l'inverse de sa réactance.
Pour C=C2=100pF et f=10MHz on a B=6,3 millisiemens
Pour tracer sur l'abaque de Smith
il est nécessaire de normaliser cette susceptance en la
divisant par l'admittance normalisée Yo :Bn=6,3/0,02=0,31
Comme les cercles des susceptances ne sont pas tracées sur l'abaque de Smith, la détermination graphique à partir de Z se fera en utilisant les cercles de résistances après rotation de 180 degrés.
1) positionner l'impédance de Z après normalisation (ici 1,4-j1,2)
2) rechercher le point 1 symétrique de Z et qui représente l'admittance de Z (une symétrie par rapport à un point équivaut à une rotation de 180 degrés).
3) ajouter à cette admittance la susceptance de C2 calculée plus haut (0,31) ce qui donne le point 2 représentant l'admittance du groupement Z//C2
4) déterminer graphiquement l'impédance du groupement Z//C2 (point 3) en traçant le symétrique de 2 par rapport au centre de l'abaque.
L'impédance normalisée est 0,66-j1,1 c'est à dire environ 33-j54
Deuxième étape : ajout de L en série
L'ajout d'une inductance en série se fait en utilisant les cercles de résistances constantes (voir Principe) :
1) calculer la réactance selfique de la bobine :
Pour L= 1,5µH XL=94 ohms
2) normaliser l'impédance
en divisant XL par 50 = 1,883) partant de l'impédance existante (point 3) tracer un arc de cercle de longueur 1,88 dans le sens des aiguilles d'une montre (pour un condensateur en série, on aurait tourné dans le sens trigonométrique)
4) on obtient ainsi le point 4 qui correspond à l'impédance normalisée du circuit : 0,66+j76 qui devient 33+j38 après "dénormalisation".
Troisième étape : ajout du condensateur C1 en parallèle
On procède comme pour la
première étape :1) calcul de la réactance de C1=200pF à 10 MHz. Xc=80 ohms
2) calcul de la susceptance de C1 : B=0,0126 siemens
3) normalisation de la susceptance : 0,0126/0,02 = 0,62
4) passage du point 4 (impédance) au point 5 (admittance) par une rotation de 180 degrés
5) ajout de la susceptance de C1 (valeur normalisée= 0,62) dans le sens des aiguilles d'une montre. On obtient le point 6.
6) retour de l'admittance à l'impédance (point 7) par rotation de 180 degrés. La valeur lue est 1,7+j0.3 qui donne le résultat recherché Z=85+j15.
Remarque : une valeur déterminée graphiquement peut être sensiblement différente de celle obtenue par le calcul. Les petites erreurs accumulées pour chaque point augmentent l'incertitude sur le résultat final.
Exemple : la valeur obtenue par le calcul donne Z=78+j13