L'abaque de Smith permet de déterminer graphiquement et avec un minimum de calculs l'impédance d'un circuit complexe comportant bobines, condensateurs, résistances en série et en parallèle alimentés par une ligne.
Décomposition du circuit
Prenons le circuit, très
simple, représenté ci-contre. L'impédance
mesurable entre A et M peut être calculée graphiquement
avec l'aide de l'abaque de Smith. Pour cela on partira du point
d'impédance 0+j0 auquel on appliquera l'effet de la résistance
R puis celui de la self en parallèle Lp et enfin celui
du condensateur en série Cs.Cette procédure revient à calculer Za l'impédance du circuit élémentaire composé par R et Lp en parallèle, puis l'impédance du circuit composé de Za en série avec Cs.
Le nombre d'étapes pour le calcul complet est égal au nombre de composants ( bobines, condensateurs, résistances, lignes) dans le circuit à étudier. Ceux-ci peuvent être en parallèle ou en série et en nombre illimité.
Principe du calcul d'impédance
Le petit circuit représenté
sur le schéma ci-contre est composé d'une résistance
R en série avec une self L. L'impédance au niveau de la masse (point 0) est de zéro ohms. Sur l'abaque de Smith, ses coordonnées sont 0+j0.
L'ajout de la résistance R, que l'on a choisie ici égale à Zo l'impédance de référence, par exemple 75 ohms, permet de passer du point 0 au point A de coordonnées 75+j0. Le point A est situé sur le cercle des résistances constantes et égales à 75 ohms.
Pour passer du point A au point B on ajoute à l'impédance du point A la réactance inductive XL de la bobine. En supposant que XL=37 ohms, l'impédance de B est 50+j37 ohms.
Selon le type de composant et s'il est branché en parallèle ou en série le déplacement correspondant à l'ajout de sa valeur sera différent mais il s'effectuera toujours en suivant un cercle, dans un sens précis.
Résistances
Les déplacements se font
selon les cercles de réactances constantes (couleur cyan) et l'axe des résistances (réactance
nulle) comme sur la figure.Résistances en série : leurs valeurs s'ajoutent directement sur l'abaque.
Résistances en parallèle : leurs conductances G s'ajoutent pour donner la conductance du groupement résultant.
Appliquer la méthode simple du calcul de résistances en parallèle. en utilisant une calculette.
Condensateurs
Condensateur en série
(Cs) : déplacement selon les cercles de résistances
dans le sens anti-horaire proportionnellement à la réactance de capacité
du condensateur.Condensateur en parallèle (Cp) : déplacement suivant les cercles de conductances constantes, dans le sens des aiguilles d'une montre, proportionnellement à la susceptance du condensateur.
L'utilisation de la susceptance avec l'abaque de Smith est facile. Voir : Méthode de calcul d'un filtre en Pi.
Remarque : les cercles de conductances constantes (en rouge sur la figure) ne sont pas représentés sur les abaques imprimés.
Inductances
Inductances en série
(Ls) :déplacement selon les cercles de résistances
dans le sens des aiguilles d'une montre proportionnellement à
la réactance inductive
de self.Inductances en parallèle (Lp) : déplacement suivant les cercles de conductances constantes, dans le sens inverse d'une montre, proportionnellement à la susceptance de la bobine.
Pour l'utilisation de la susceptance avec l'abaque de Smith voir : Conception d'un circuit d'adaptation en L.
Lignes
Une ligne est un élément
de circuit qui intervient dans le calcul des impédances.
C'est d'ailleurs un des grands mérites de l'abaque de Smith
que de faciliter grandement les calculs des circuits qui font
intervenir un tronçon de ligne : ligne d'alimentation d'une
antenne, stub...Ligne en série (ls) : déplacement suivant les cercles de ROS constants, dans la mesure où la ligne est sans pertes.Un tour complet représente une demi-longueur d'onde électrique.
Ligne fermée en parallèle (lpf) : déplacement suivant les cercles de conductances constantes en partant de l/4 et tournant dans le sens trigonométrique.
Ligne ouverte en parallèle (lpo) : déplacement suivant les cercles de conductances constantes dans le sens des aiguilles d'une montre.
Le logiciel Smith-Chart
Fritz Dellsperger, professeur à
l'Université des Sciences Appliquées de Berne a
développé un logiciel très pratique qui permet
d'effectuer facilement les calculs d'impédances avec visualisation
sur abaque de Smith. On peut télécharger une version
démo qui permet d'en apprécier la qualité.
C'est aussi un bon moyen de comprendre certains aspects de l'abaque
de Smith.Méthode graphique
A défaut d'ordinateur, un crayon, une règle graduée et un abaque de Smith vierge peuvent suffire. Une petite calculette à 4 opérations peut aider à effectuer les quelques multiplications et divisions nécessaires.
Les cercles de conductance et de susceptance ne sont pas représentés sur l'abaque, on se sert des cercles de résistance et de réactance pour la détermination graphique.