Malgré son aspect rébarbatif l'abaque de Smith est un outil facile à utiliser. Avant l'avènement de l'informatique, on ne le rencontrait guère que sur papier mais à présent la plupart des logiciels de simulation en HF présentent des résultats sous la forme d'un abaque de Smith. Comprendre ce dernier n'a jamais été autant nécessaire qu'aujourd'hui.
Définition
L'abaque de Smith est un diagramme qui permet, entre autres, de :
- représenter la variation d'impédance d'un dipôle (antenne, filtre...) en fonction de la fréquence
- calculer l'impédance d'un réseau (boîte de couplage, filtre) formé d'éléments réactifs
- dimensionner un circuit d'adaptation d'impédance
- calculer l'impédance d'une charge vue au travers d'une ligne
Toute impédance de la forme Z = R ± jX peut être représentée par un point sur le diagramme. La résistance R peut prendre n'importe quelle valeur entre 0 et l'infini et la réactance X peut être comprise entre - l'infini et + l'infini.
Description
Habituellement l'abaque de Smith
se présente sous la forme d'un graphe circulaire et d'un
ensemble d'échelles (repère H). Il n'est pas nécessaire
d'en connaître tous les détails pour pouvoir en comprendre
le fonctionnement de base.Au premier coup d'oeil on distingue :
- A : aire des réactances inductives (moitié supérieure du cercle)
- B : aire des réactances capacitives (moitié inférieure du cercle)
- C : axe des réactances nulles (ou résistances pures)
- D : origine de l'axe C, résistance nulle
- E : centre du cercle correspondant à l'impédance Z=1+j0
- F : extrémité de l'axe C, résistance (et réactances) infinies
- G : échelle des angles de déphasage et longueurs de lignes
- H : ensemble d'échelles facilitant les calculs de pertes, ROS...
Le positionnement d'une impédance Z se fait au travers de ses deux composantes R et X.
Les valeurs des réactances X et des résistances R sont repérables à l'aide de deux familles de cercles :
- cercles des résistances
- cercles des réactances
D'autres cercles sont utilisés :
- cercles des ROS constants
- cercles de stabilité
- cercles des facteurs de bruits
- cercles des facteurs Q constants
- ...
La plupart des notions permettant d'expliquer le fonctionnement des lignes peuvent être comprises grâce à l'abaque de Smith.
Par exemple :
- Angle du coefficient de réflexion
- Pertes dans une ligne et influence sur le ROS
- Transformation de l'impédance d'une charge par un tronçon de ligne
- Fonctionnement d'une ligne ouverte et fermée
- Stubs série et parallèle
Cercles des résistances constantes
En observant la reproduction ci-dessus on remarque un ensemble de cercles tangents au point F : ce sont les cercles de résistance constante. Tous les points rouge sur la figure correspondent à des impédances complexes dont la composante résistive est égale à 0,3.
Le cercle des résistances nulles est également l'axe des réactances. Il constitue la limite de l'abaque, son centre est le point de l'impédance de référence ; par exemple : Z=50+j0
Le segment DF est l'axe des résistances.
Le point D correspond à une impédance nulle : Z=0+j0 (par exemple un court-circuit)
Le point F représente une impédance dont la composante résistive a une valeur infinie (par exemple une ligne ouverte).
Cercles des réactances constantes
Le deuxième ensemble de
cercles est celui des réactances. Les centres de chacun
de ces cercles sont situés sur une droite tangente en F
au cercle des résistances nulles (en gris sur la figure)
qui est aussi l'axe des réactances.Tous les points situés sur un même cercle correspondent à des impédances dont la partie réactive a la même valeur. Par exemple, tous les points bleus ont la même réactance -j0,4.
Les cercles des réactances inductives (en rouge sur la figure) sont situés au dessus de l'axe des résistances, les cercles des réactances capacitives (en bleu sur la figure) sont situés au dessous de l'axe des résistances.
Le cercle des réactances nulles (en noir sur la figure) a un rayon infini, c'est aussi l'axe des résistances.
Positionnement d'un point, normalisation
Dans les problèmes faisant
intervenir une ligne, l'impédance caractéristique
de la ligne sert de valeur de référence pour les
calculs, c'est elle qui est représentée par le point
central de l'abaque.Il existe des abaques sur papier avec la référence 50 ohms mais, comme il n'est pas possible d'imprimer des abaques pour toutes les valeurs d'impédance de ligne (75, 300, 400, 600...) on se sert d'un diagramme universel et pour pouvoir traiter tous les cas quelque soit la valeur de l'impédance caractéristique Zo de la ligne, il existe un support papier normalisé dont la référence centrale est Z=1,0+j0. Ce principe a aussi d'autres avantages : affichage direct de la valeur du ROS, par exemple.
Si Zo=50 ohms, il suffit de diviser par 50 chacun des termes de l'impédance complexe. Le résultat est alors un nombre complexe sans unité.
Exemple 1 :
Soit l'impédance Z=15+j20 ohms. En divisant par 50 ohms chaque terme de Z on "normalise" Z et on obtient 0,3+j0,4 encore appelée "impédance réduite". Ce point est à l'intersection du cercle des résistances égales à 0,3 et du cercle des réactances égales à +0,4
Pour retrouver l'impédance en ohms il suffit de multiplier chaque terme par l'impédance de référence.
Exemple 2 :
Le point 1,4-j1,2 représente l'impédance Z = 1,4x50-j1,2x50 = 70-j60
L'abaque de Smith permet l'utilisation très facile des admittances, on "normalise" dont aussi les admittances par rapport à Yo, l'admittance correspondant à l'impédance Zo.
Cercles des ROS constants
L'ensemble des cercles de ROS constant est centré sur le point correspondant à Zo.
Le cercle de ROS infini correspondant à celui des résistances nulles et constitue la limite de l'abaque.
Le cercle de ROS=1 est le centre de l'abaque et correspond au point d'impédance 1+j0, l'impédance de référence.
Tous les points situés sur un même cercle de ROS ont un ROS identique et réciproquement, deux impédances différentes qui provoquent le même ROS sont situées sur le même cercle de ROS.
Voir L'abaque de Smith et le ROS