Quelques manipulations avec l'abaque de Smith peuvent aider à
comprendre le fonctionnement des lignes ouvertes (open end) ou
fermées par un court circuit (shorted end).
L'adaptation par stub (série
ou parallèle) est un exemple
d'utilisation de ce type de ligne.
Ligne ouverte
La ligne ouverte peut être considérée comme
branchée sur une charge d'impédance infinie, incapable
d'absorber la moindre énergie : toute celle qui lui
sera envoyée par le générateur sera réfléchie.
Le ROS est infini :
sur l'abaque de Smith le point correspondant à l'impédance
mesurée en e (voir schéma) est toujours situé
sur le cercle des résistances égales à zéro,
celui qui marque la limite de l'abaque et qui est aussi celui
du ROS infini.
L'action de la ligne est représentée par l'arc
rouge correspondant à la longueur électrique de
la ligne.
Au point A l'impédance
est infinie, elle est de 0-j1 au point E pour cette ligne de longueur électrique
l/8.
Lignes ouvertes de longueurs particulières
C'est la longueur électrique de la ligne qui détermine
l'impédance que l'on retrouvera à son extrémité
"côté générateur" :
- longueur = l/8 : z = 0 -j1
- longueur = l/4 : z = 0 -j0
- longueur = 3l/8 : z = 0 +j1
- longueur = l/2 : z = 0 -j1 (retour à
la case départ)
Au bout d'une ligne demi-onde se retrouve la même impédance
qu'à son autre extrémité. Cette particularité
est utilisée pour mesurer l'impédance au point d'alimentation
d'une antenne sur une gamme de fréquences étroite.
Ligne fermée
La ligne fermée est en court-circuit à son extrémité
"côté charge" ; autrement dit elle est
chargée par une impédance nulle. C'est donc du point
0 +j0 que l'on partira en mesurant 3/8 de lambda dans le sens
de la flèche rouge "vers le générateur".
Pour parcourir cette ligne de 3l/8
on part du point A
vers le point E
dans le sens de la flèche rouge
Le point A a
une impédance nulle. Pour une longueur électrique
de 3l/8, l'impédance en E est de 0-j1 comme
dans l'exemple précédent.
Le cas de la ligne quart d'onde
Après avoir vu l'action d'une ligne demi-onde, examinons
le cas de la ligne quart d'onde.
Sur l'abaque de Smith ci-dessus on constate que, sur un demi-tour
de l'échelle extérieure, l'impédance nulle
du point A est infinie au point diamétralement opposé,
au bout d'une longueur électrique de l/4. De même,
l'impédance du point E est de 0-j1 alors qu'elle est 0+j1
au point opposé.
Une ligne en court-circuit à une extrémité
présente une impédance infinie pour la fréquence
dont le quart d'onde est égal à sa longueur électrique.
Exemple : une ligne de longueur 2,68 mètres et dont
le coefficient de vélocité est 0,97 a une longueur
électrique de 2,76 m. Cette longueur correspond au
quart d'onde de la fréquence 27,181 MHz. Lorsque une
extrémité de cette ligne est en court-circuit, l'impédance
mesurée à la fréquence de 27,181 MHz
est infinie à l'autre extrémité. Inversement
si la ligne est ouverte, l'impédance mesurée à
une extrémité de la ligne est égale à
zéro.
Transformation d'impédance
à l'aide de la ligne quart d'onde
Le point A de coordonnées Za=0,5-j0,6 correspond
à une impédance dont le module peut être facilement
calculé : 0,78 (voir : Impédance
et admittance).
Cette impédance est branchée en A au bout
d'une ligne quart d'onde, à l'extrémité de
laquelle (point E) l'impédance correspond à
un point de coordonnées Ze=0,8+j1 dont on peut aussi
calculer le module : 1,28
La ligne quart d'onde, en tant que transformateur d'impédance,
est décrite dans la page Les
lignes quart d'onde et demi-onde. On y trouve la formule suivante
: Ze.Za=Zc²
Ici Zc étant l'impédance caractéristique
normalisée = 1, on peut écrire : Ze=1²/Za
autrement dit, Ze est l'inverse de Za, ce qui se vérifie
avec les valeurs de Za et Ze trouvées précédemment.
Le point A est aussi le symétrique du point E sur l'abaque
de Smith par rapport au centre de la feuille, propriété
graphique de l'abaque qui permet aussi de passer facilement de
l'admittance à l'impédance et réciproquement.
